2. Граница на числова редица

Граница - числото $l$ се нарича граница на безкрайната числова редица ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ , ако $\forall ε > 0$ съществува число $N$ такова, че $\forall n > N, ∣ a_{n} - l ∣ < ε$

а) означение

$n \to \infty lim a_{n} = l$ $a_{n} n \to \infty \to l$
Сходяща редица - една числова редица е сходяща, ако има граница

а) критерии за сходяща редица
- всяка монотонно растяща редица, която е ограничена отгоре, има граница
- всяка монотонно намаляваща редица, която е ограничена отдолу, има граница
- ако разликата между които и да е два последователни члена на редицата клони към нула, то редицата е сходяща
- лема за двамата полицай - ако $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = l$ и за редицата ${c_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ е изпълнено, че $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \forall n$ , то $lim_{n \to \infty} c_{n} = l$
${n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = l a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, \forall n ⟹ n \to \infty lim c_{n} = l$
- ако ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ е монотонно растяща, а ${b_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ е монотонно намаляваща , и е изпълнено, че $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$ , то двете редици са сходящи
б) критерии за ограниченост
- всяка сходяща редица е ограничена
Свойства на граници - за сходящите редици ${a_{n}}$ и ${b_{n}}$

$n \to \infty lim (a_{n} \pm b_{n}) = n \to \infty lim a_{n} \pm n \to \infty lim b_{n}$

$n \to \infty lim (a_{n} \cdot b_{n}) = (n \to \infty lim a_{n}) (n \to \infty lim b_{n})$

$n \to \infty lim (\frac{a _{n}}{b _{n}}) = \frac{n \to \infty lim a _{n}}{n \to \infty lim b _{n}}, n \to \infty lim b_{n} \neq = 0$

$n \to \infty lim (a_{n}^{k}) = (n \to \infty lim a_{n})^{k}$
Редица, клоняща към безкрайност

Безкрайността не се счита за граница.

а) към плюс безкрайност - безкрайната редица ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ клони към $+ \infty$ , ако $\forall A > 0, \exists N (A) > 0$ такова, че $\forall n > N, a_{n} > A$
- запис
$n \to \infty lim a_{n} = + \infty$

б) към минус безкрайност - безкрайната редица ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ клони към $- \infty$ , ако $\forall A < 0, \exists N (A) > 0$ такова, че $\forall n > N, a_{n} < A$
- запис
$n \to \infty lim a_{n} = - \infty$
Неопреленост - форма на граница, която може да се получи при граничен преход

$\infty - \infty, 0 \cdot \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0^{0}, 1^{\infty}, \infty^{0}$

В този случай не се знае дали редицата има граница и трябва да се търси друг начин за установяването на такава.
Неперово число

$e = def n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = 2.718 \dots$

а) следствия

$n \to \infty lim (1 + \frac{k}{n})^{n} = e^{k}$

School